PERTEMUAN KE-7
RELASI
Kelompok 7
1. Anninditya Atika K.D 4101412075
2. Devian Putri
4101412132
3. Sara Nurul
Hidayah 4101412136
DESKRIPSI RELASI
A.PASANGAN BERURUTAN
Misalkan x dan y menjadi objek.
Himpunan (x,y)= {{x}, {x,y}} adalah pasangan urutan x dan
y.
Dalam pasangan berurutan (x,y),
a. Pertama x dan y disebut berurutan , dan
b. Kedua x dan y disebut koordinat kedua dari (x,y).
B.
HIMPUNAN PRODUCT CARTESIUS
Diberikan dua himpunan A dan B,
Apakah pasangan berurutan (a,b), dimana a Î A dan b Î B, merupakan satu himpunan?
Jawabannya adalah Ya.
Definisi
Contoh
Diketahui A = {a,b} dan B = {1,2,3}, maka:
(1). AxB =
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
(2). BxA = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
J A D I
AxB ≠ BxA.
Diketahui A = {a,b} dan B = {1,2,3}, maka:
(1). AxB =
{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
(2). BxA = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
J A D I
AxB ≠ BxA.
C. RELASI
Pengertian
Relasi
Relasi
adalah hubungan antara dua himpunan Adan B yang saling berpasangan antara
anggota A dengan anggota B .
CATATAN
Tiap anggota A tidak harus memiliki pasangan himpunan B
Perhatikan
skema contoh
2). Dengan himpunan pasangan berurutan
Perhatikanlah gambar 5.2.
2→6 ini berarti 2 faktor dari 6 dan dapat ditulis dengan
pasangan berurutan (2,6).
Jika relasi faktor dari himpunan A ke himpunan B
dinyatakan dengan R, maka jelas 2 berelasi R dengan 6 atau dapat ditulis
dengan:
a. 2R6 , atau
b. (2,6) Î R .
Dengan demikian relasi R tersebut merupakan himpunan
pasangan berurutan yaitu:
R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)}
3). Dengan grafik Cartesius
Koordinat titik-titik pada gambar 5.3 menyatakan
anggota-anggota pasangan berurutan dari relasi R (faktor dari).
Contoh
Diketahui M = {0,2 4,6,8}, N = {0,1,2,3,4,5}.
R = M→N adalah relasi dari M ke N dinyatakan dengan kalimat
terbuka x dua kali y dengan xÎM, y Î N.
Nyatakanlah relasi tersebut:
a. dengan diagram panah
b. dengan himpunan pasang
berurutan
c. dengan grafik Cartesius
OPERASI
RELASI
Karena relasi merupakan himpunan, maka operasi pada
himpunan juga
berlaku dalam relasi:
1.
Operasi ∩
(intersection/irisan)
2.
Operasi ∪
(union/gabungan)
3.
Operasi ⊕
(symmetric difference/persamaan simetris)
4.
Operasi
- (difference/selisih)
5.
Operasi komplemen (komplemen relative terhadap Cartesian product)
Contoh
Jika A = {1, 2, 5, 6},
R1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2,
5)} dan
R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1,
6), (5, 6)},
maka:
R1 ∩ R2 = {(1, 1), (2, 2), (2,
5)}
R1 ∪ R2 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2,
5), (1, 2), (1, 6), (5,6)}
R1 ⊕ R2 = {(5, 5), (6, 6), (1, 2), (1, 6), (5,
6)}
R1 - R2 = {(5, 5), (6, 6)}
(R1 ∪ R2)c = AxA – (R1
∪ R2)
= {(1, 5), (2, 1), (2, 6), (5, 1), (5, 2),(6, 1), (6, 2), (6, 5)}
Macam Relasi
a.
Relasi Refleksif
Definisi
Misalkan R suatu
relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi refleksif jika dan hanya jika 
a Î A, maka (a,a) Î R.
a Î A, maka (a,a) Î R.
Suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan relasi
refleksif jika dan hanya jika $ aÎA, dan (a,a)ÏR.
Contoh
Diketahui R:A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan
A = {1,3,5} sedemikian sehingga:
a. R1 = {(1,1),(1,3),(3,3)}
b. R2 = {(1,1),(3,3),(5,5)}
c.R3= {(1,1),(1",3),(3,3),(5,3),(5,5)}
Apakah R1, R2, dan R3
relasi refleksif atau bukan?
Penyelesaian:
R1 bukan relasi refleksif sebab 5ÎA tetapi (5,5)ÏR1.
R2 relasi refleksif sebab "aÎA maka (a,a)ÎR1.
R3 relasi refleksif sebab "aÎA maka (a,a)ÎR1.
b.
Relasi
Simetris
Definisi
Misalkan
R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi simetris jika (a,b) Î R, maka berarti (b,a) Î R.
Suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan relasi
simetris jika (a,b)ÎR dan (b,a)ÏR.
c.
Relasi
Transitif
Definisi
Misalkan
R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi transitif jika (a,b)
R
dan (b,c)
R,
maka berarti (a,c)R.
R
dan (b,c)R,
maka berarti (a,c)R.
Suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan relasi
transitif jika (a,b)ÎR dan (b,c) Î R tetapi (a,c)ÏR.
Contoh
Diketahui R: A→A adalah relasi di dalam himpunan A dengan
A = {1,3,5} sedemikian sehingga:
R1
= {(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)}
R2
= {(1,3),(1,1),(3,1),(3,3)}
R3
= {(1,1),(3,3),(5,5)}
Apakah R1, R2, dan R3
relasi transitif atau bukan?
Penyelesaian:
R1 bukan relasi transitif sebab (3,1)ÎR1 dan (1,3) Î R, tetapi (3,3)ÏR1.
R2 relasi transitif sebab (1,3) Î R2 dan (3,1) Î R2 maka (1,1) Î R2;
(3,1) Î R2 dan (1,3) Î R2 , maka: (3,3) Î R2;
(1,1 ) Î R2 dan (1,3) Î R2 , maka: (1,3) Î R2;
(3,1) Î R2 dan (1,I) Î R2 ,maka: (3,1) Î R2;
(1,3) Î R2 dan (3,3) Î R2 , maka: (1,3) Î R2;
R3 relasi transitif.
d.
Relasi Ekivalen
Definisi
Misalkan
R suatu relasi di dalam himpuiran A maka R disebut relasi ekivalen jika berlaku
syarat:
a. Refleksif
artinya aA,
maka (a,a)R;
aA,
maka (a,a)R;
b. Simetris
artinya jika (a,b)R,
maka berarti (b,a)R;
dan
R,
maka berarti (b,a)R;
dan
c. Transitif
artinya jika (a,b)R
dan (b,c)R,
maka berarti (a,c)R.
R
dan (b,c)R,
maka berarti (a,c)R.
Contoh
Diketahui himpunan A = {0,2,4}, relasi R di dalam
himpunan A dengan R = {(0,0), (2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris,
dan transitif.
Oleh karena itu R merupakan relasi ekivalen.
Contoh
soal:
Jika
A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A:
R1
= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}
R2
= {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
R3
= {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)}
R4
= {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
R5
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)}
R6 = {(3, 4)}
R7 = {(1, 1)}
R8
= {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}
Manakah
dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat: refleksif, simetri, dan transitif.
Jawab:
a. Pada
relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R3, dan R5.
b. R1 tidak refleksif karena (3, 3)∉R1.
c. Relasi yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7.
d. Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7.
D. Invers dan
Komposisi
Relasi Invers:
Misalkan R suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B.
Invers dari R
ditulis R-1 adalah suatu relasi dari himpunan
B ke himpunan A, sedemikian hingga tiap pasangan terurut pada R−1 jika
urutan anggota-anggotanya dibalik merupakan anggota dari R.
Jadi R−1=
{(b,a) / (a,b) ∈ R}
Contoh:
Relasi R pada A = {1, 2, 3} didefinisikan sebagai R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}, apa R-1 nya ?
Jawab :
R-1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}.
E. Relasi
Ekivalen
Pengertian
Relasi Ekivalen
Relasi
Ekivalen adalah
relasi yang memenuhi sifat:
o Refleksif
o Simetri
o Transitif
Contoh
R={(a, b)| a=b atau a=-b, a, b∈Z}
Apakah R relasi ekivalen?
Pada relasi ini, jelas dipenuhi a=a, ∀a∈Z, berarti (a, a) ∈ R atau bersifat refleksif.
• Untuk sifat simetri, terdapat dua kemungkinan:
1.
Jika a=b, berarti (a, b)∈R, ∀a, b∈Z maka b=a, berarti
(b, a)∈R
2. Jika a=-b, berarti (a, b)∈R, ∀a, b∈Z maka b=-a, berarti (b,a)∈R,
Sehingga R bersifat simetri.
• Untuk sifat transitif, mempunyai empat kemungkinan:
1.
Jika
a=b, dan b=c, maka a=c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z
2. Jika a=b, dan b=-c, maka a=-c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z
3. Jika a=-b, dan b=c, maka a=-c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z
4. Jika a=-b, dan b=-c, maka a=c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z
Sehingga
R bersifat transitif.
• Jadi, R relasi ekivalen.
Contoh
Misalkan
R suatu relasi dalam bilangan-bilangan yang didefinisikan sebagi “x lebih kecil dari pada y” ditulis x < y,
maka
1) R tidak reflektif,
sebab untuk setiap bilangan riil a, a</a.
2) R tidak simetris,
sebab untuk setiap bilangan riil a, a<b dan . b</a
3) R transitif. Sebab untuk setiap 3 bilangan riil
a, b, dan c berlaku a<b dan b<c maka a<c
Jadi R merupakan relasi ekivalen
0 komentar:
Posting Komentar