Pada
bab “Pernyataan Kalkulus”, kita terlebih dahulu memahami apa yang disebut
dengan pernyataan dan bukan pernyataan. Pernyataan adalah kalimat yang hanya
mempunyai nilai Benar atau Salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua–duanya, sedangkan suatu kalimat merupakan bukan
pernyataan jika kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar atau salahnya
atau mengandung pengertian relative.
Contoh kalimat pernyataan:
-
Tiga adalah bilangan ganjil
-
Buaya adalah hewan suka makan
daging.
Contoh kalimat bukan pernyataan:
-
P adalah bilangan
prima.
-
Jarak
antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat
Dalam logika matematika terdapat konjungsi, disjungsi,
implikasi, dan biimplikasi. Kata hubung yang digunakan dalam konjungsi adalah ”dan”
dan disimbolkan dengan (ʌ). Nilai kebenaran
konjungsi bergantung pada nilai kebenaran pernyataan p dan q itu sendiri.
Contoh:
p
: Mahasiswa Matematika mempelajari Pengantar Dasar Matematika
q:
Seorang dosen sedang menjelaskan.
pʌq:
Mahasiswa Matematika mempelajari Pengantar Dasar Matematika dan seorang dosen
sedang menjelaskan.
Disjungsi
dilambangkan dengan (ᴧ) yang berarti “atau”. Disjungsi dibedakan menjadi dua macam yaitu:
1. Disjungsi
Inklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah per-nyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika p dan q keduanya bernilai benar, atau salah satu bernilai salah, sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai salah.
adalah jika p dan q merupakan dua buah per-nyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika p dan q keduanya bernilai benar, atau salah satu bernilai salah, sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai salah.
2. Disjungsi
eksklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah pernyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika salahsatu bernilai salah (S) atau salah satu bernilai (B), sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai benar (B) atau keduanya bernilai salah (S).
adalah jika p dan q merupakan dua buah pernyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika salahsatu bernilai salah (S) atau salah satu bernilai (B), sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai benar (B) atau keduanya bernilai salah (S).
Implikasi,
merupakan gabungan jika-maka. Dalam logika matematika, kondisional dibentuk
dengan menyisipkan tanda panah “→” antara komponen. Jika-maka mengandung
hipotesis dan konsekuensi.
Contoh: Jika Rita sakit maka dia tidak datang ke
pesta.
Hipotesis: Rita sakit
Konsekuensi: Dia tidak datang ke pesta.
• Komposisi
berulang (Biimplikasi) adalah
pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung logika " … jika dan hanya
jika … " dan diberi lambang " ⇔
" atau " ↔ ".
• Negasi
disebut komposisi tunggal karena hanya mengubah pernyataan menjadi pernyataan
baru. Dalam logika matematika, negasi dari suatu pernyataan dibentuk oleh
awalan (~) yang dibaca tidak.
• Ekuivalensi
adalah dua pernyataan majemuk atau lebih yang mempunyai nilai kebenaran sama.
p v p ≡ p
p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p
p ⇔
q≡ q ⇔
p
p ⇔
q≡ ~ p ⇔
~ q
• Tautologi
adalah sebuah proposisi komposit untuk semua nilai kebenaran bernilai benar
• Kontradiksi
adalah sebuah proposisi komposit untuk semua nilai kebenaran bernilai salah.
Tabel Kebenaran Konjungsi
Tabel Kebenaran Disjungsi
Komponen 1
p
|
Komponen 2
Q
|
Disjungsi
p v q
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
p
|
q
|
~p
|
~q
|
~p v q
|
p ⇒ q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Aturan
Penggantian
• Hukum
Komutatif
1. p
v q ≡ q v p
2. p
^ q ≡ q ^ p
• Hukum
Asosiatif
1. p
ʌ (q ʌ r) ≡ (p ʌ q ) ʌ r
2. p
v (q v r) ≡ (p v q ) v r
• Hukum
Distributif
1. p
ʌ (q v r) ≡ (p ʌ q ) v (p ʌ r)
2. p
v (q ʌ r) ≡ (p v q ) ʌ (p v r)
• Hukum
de Morgan
1. ~ (p ^ q) ≡ ~ p v ~ q
2. ~ (p v q) ≡ ~ p ʌ ~ q
• Hukum Idempoten (Idem)
1.
p v p ek p
2.
p ʌ p ek p
• Hukum Identitas (Id)
1.
p v F ek p
2.
p v T ek T
3.
p ʌ F ek F
4.
p ʌ T ek p
• Hukum Komplemen (Komp)
1.
p v – p ek T
2.
p ʌ - p ek F
3.
– (-p) ek p
4.
– T ek F
• Hukum Transposisi (Trans)
1.
p ® q ek `q ® `p
• Hukum Implikasi (Imp)
1.
p ® q ek `p v q
• Hukum Ekivalensi (Eki)
1.
p ⇔ q ek (p ® q) ʌ (q ®p)
2.
p ⇔q ek (p ʌ q) v (- q ʌ - p)
• Hukum Eksportasi (Eksp)
1.
(p ʌ q) ® r ek p ® (q ® r)
0 komentar:
Posting Komentar