pertemuan 8
PERTEMUAN KE-8
PEMETAAN
Kelompok 7
1. Anninditya Atika K.D 4101412075
2. Devian Putri
4101412132
3. Sara Nurul
Hidayah 4101412136
PEMETAAN
A.
Fungsi
Fungsi
atau pemetaan dari A ke B adalah Suatu relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A ke tepat satu
anggota B.
·
Notasi Fungsi
Suatu fungsi atau pemetaan umumnya
dinotasikan dengan huruf kecil. Misal, f
adalah fungsi dari A ke B
ditulis
f: A → B
·
A disebut domain
(daerah asal)
·
B disebut kodomain
(daerah hasil)
·
Range atau Daerah Hasil
Jika
f memetakan x Î A ke y Î
B , dikatakan y adalah peta dari x
ditulis
f: x → y atau y = f(x).
Himpunan
y Î
B yang merupakan peta dari x Î
A disebut range atau daerah hasil
o contoh
1:
Perhatikan
gambar pemetaan
f : A → B
f
·
domain adalah
A = {a, b, c, d}
·
kodomain adalah
B = {1, 2, 3, 4, 5}
·
Perhatikan gambar
pemetaan
f : A → B
f
f(a) = 1, f(b) = 2
f(c) = 3, f(d) = 4
range adalah R = {1, 2, 3, 4}
o contoh
2
Misal
f: R → R dengan f(x) = √1 - x2
Tentukan domain dari fungsi f.
Jawab :
Supaya
f: R→R dengan f(x)=√ 1-x2
maka haruslah 1 – x2 ≥ 0.
1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau
(x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1. Jadi, domain
fungsi tersebut adalah -1 ≤ x ≤ 1.
o contoh
3
Misal
f: R → R
dengan
f(x – 1) = x2 + 5x
Tentukan : a. f(x)
b. f(-3)
Jawab:
- Misal y = x – 1 maka x = y + 1
karena f(x – 1) = x2 + 5x
maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1)
f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y
+ 5
f(y) = y2 + 7y + 6
f(y)
= y2 + 7y + 6
a. f(x) = x2 + 7x + 6
b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6
= 9 – 21 + 6
= -6
B.
Komposisi Fungsi
Penggabungan
operasi dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru.
Penggabungan
tersebut disebut komposisi fungsi
dan hasilnya disebut fungsi komposisi.
x Î
A dipetakan oleh f ke y Î
B
ditulis
f : x → y atau y = f(x)
y
Î
B dipetakan oleh g ke z Î
C
ditulis
g : y → z atau z = g(y) atau z = g(f(x))
g o f
maka
fungsi yang memetakan
x
Î
A ke z Î C
adalah
komposisi fungsi f dan g
ditulis (g o f)(x) = g(f(x))
o CONTOH1:
f : A → B dan g: B → C didefinisikan seperti pada gambar
Tentukan
(g o f)(a) dan (g o f)(b)
Jawab:
(g
o f)(a) = ?
f(a)
= 1 dan g(1) = q
Jadi
(g o f)(a) = g(f(a)) = g(1)= q
f(a)
= 1 dan g(1) = q
Jadi
(g o f)(a) = g(f(a)) = g(1)= q
(g
o f)(b) = ?
f(b)
= 3 dan g(3) = p
Jadi
(g o f) = g(f(b)) = g(3) = p
o contoh
2
Ditentukan
g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = … .
Jawab:
f(x)
= 2x + p dan g(x) = 3x + 120
g(f(x))
= f(g(x))
g(2x+
p) = f(3x + 120)
3(2x
+ p) + 120 = 2(3x + 120) + p
6x
+ 3p + 120 = 6x + 240
+ p
3p
– p = 240 – 120
2p
= 120 ®
p = 60
Sifat Komposisi Fungsi
- Tidak komutatif:
f o g ≠ g o f
2. Bersifat assosiatif:
f o (g o h) = (f o g) o
h = f o g o h
3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = x
f o I = I o f = f
o contoh
1
f
: R → R dan g : R → R
f(x)
= 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
Tentukan:
a. (g o f)(x)
b. (f o g)(x)
Jawab:
f(x)
= 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
- (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)
= 2(3x – 1)2 + 5
= 2(9x2 – 6x + 1)
+ 5
= 18x2 – 12x + 2 +
5
= 18x2 – 12x +
7
f(x)
= 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
b.
(f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5)
= 3(2x2 + 5) – 1
= 6x2 + 15 – 1
(f o g)(x) = 6x2 + 14
(g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7
(g o f)(x) ≠ (f o g )(x)
tidak bersifat komutatif
o contoh
2
f(x)
= x – 1, g(x) = x2 – 1 dan
h(x)
= 1/x
Tentukan:
a. (f o g) o h
b. f o (g o h)
Jawab:
f(x)
= x – 1, g(x) = x2 – 1
dan
h(x) = 1/x
((f
o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))
(f
o g)(x) = (x2 – 1) – 1
= x2 – 2
(f
o g(h(x))) = (f o g)(1/x)
= (1/x)2 – 2
f(x)
= x – 1, g(x) = x2 – 1
dan
h(x) = 1/x
(f
o (g o h))(x) = (f(g oh)(x))
(g
o h)(x)= g(1/x)
= (1/x)2 – 1
= 1/x2 - 1
f(g
o h)(x)= f(1/x2 – 1)
= (1/x2 – 1) –
1
=(1/x)2 – 2
D. Pemetaan Injektif,
Surjektif, dan Bijektif
— Fungsi
Injektif
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan di A yang kawannya tunggal,
maka f disebut fungsi injektif atau fungsi 1-1
(into function).
A B
Satu-satu
— Fungsi
Surjektif
Apabila setiap anggota
himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A,
maka f disebut fungsi surjektifatau fungsi
pada (onto function).
A B
kepada
— Fungsi
Bijektif
Jika setiap anggota himpunan B mempunyai
tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi
bijektif ataukorespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa
korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.
A B
E. Faktorisasi
Misalkan u: A à B dan v: B à C menjadi pemetaan. Kemudian kita dapatkan pemetaan f = v0u: A à C komposisi u dan v. Dengan kata lain, kita dapat mengisi ke dalam diagram berikut pemetaan yang unik f, sehingga membuatnya komutatif.
·
Faktorisasi adalah
kebalikan dari komposisi. Mari kita lihat ke dalam faktorisasi pemetaan dengan
menyelidiki jenis masalah berikut:
- Diberikan f: A à C dan v: B à C, apakah terdapat u: A à B sehingga f = v o u? Dengan kata lain, dapatkah kita mengisi ke diagram u sehingga membuatnya komutatif?
- Diberikan f: A à C dan u: A à B, apakah terdapat v: B à C sehingga bahwa f = vou? Dengan kata lain, dapatkah kita mengisi ke diagram v sehingga membuatnya komutatif?
v Secara umum masalah ini tidak memiliki solusi. Ambil
contoh pemetaan non-konstan f dan pemetaan konstan dalam hal masalah 1 tidak memiliki
solusi. Oleh karena itu kami hanya akan mempertimbangkan kasus khusus dari
masalah ini di mana pembatasan yang dikenakan pada u atau v.
Langganan:
Postingan (Atom)